El fractal áureo

Una de las muchas cosas que se pueden ver en el pentágono-pentagrama, es su condición cíclica. Dentro del pentágono se hace el pentagrama, y en el interior de este queda un pentágono de menor tamaño. De la misma manera esto se puede repetir dentro de este nuevo pentágono, resultando siempre uno de menor tamaño. Aquí los antiguos griegos tuvieron vértigo, aquello no tenía fin. Dentro del pentágono se encontraron con un descenso infinito. Pero esto sucede también en un triángulo rectángulo isósceles (medio cuadrado cortado por una diagonal). Algo hacía istinguido al pentágono, y esto era su proporción. El pentágono tiene 5 lados iguales (AB=BC=CD=DE=EA) y 5 diagonales (AC=CE=EB=BD=DA) obviamente también iguales. En cada vértice (tomemos A como ejemplo), y solo con lados y diagonales, se pueden hacer dos triángulos distintos e importantes; el ACD, triángulo formado por dos diagonales (AC y DA) y un lado (el opuesto al vértice, CD). Isósceles y tal que los ángulos iguales son el doble del ángulo del vértice, al que llamamos a (36º o PI/5 radianes). Este es el de la construcción anterior. Y luego está el otro triángulo, formado por dos lados (AB y EA) y una diagonal (EB), esto es ABE. Logicamente también es isósceles y facilmente se ve que sus ángulos también están en base al anterior, siendo 3a en el vértice, y a en los iguales. (a+2a+2a=3a+a+a) estas son las 2 formas en que se puede sumar 5 con 3 números naturales donde uno está repetido. Ahora bien, si tomamos ACD, podemos subdividirlo en dos triángulos, AgD y DgC. DgC es claramente semejante a ADC y AgD semejante al otro (ABE p.ej.). De esta manera la diagonal (D) AC queda dividida en Ag+gC (L+d), donde Ag=Dg=CD (AgD y DgC son isósceles), y por la semejanza entre ADC y DgC tenemos: AC:DC=DC:gC, esto es D:L=L:d, pero como D=L+d se tiene (L+d):L=L:d, lo que es tal vez, la definición más sencilla del número áureo φ = (a+b) : a = a : b. Es decir, L y d están en proporción áurea, pero como vimos antes, esta es la misma proporción que D:L, y no es complejo comprobar que el la misma que d:l. Siendo, claro está D y L diagonal y lado del pentágono grande (ABCDE) y d y l diagonal y lado del pequeño (fghij). Se tiene la cadena D:L=L:d=d:l=φ, o lo que es lo mismo: "Cualesquiera dos segmentos distintos del pentágono-pentagrama de tamaños consecutivos están en proporción áurea" y asimismo "Cualquier triángulo del dibujo será semejante a alguno de los dos iniciales(ADC y ABE p.ej.), y tendrá a φ en la relación entre sus lados iguales y el distinto.

Sin duda este era uno de los motivos que hacían tan interesante esta figura para los pitagóricos. La proporción aúrea se replegaba sobre sí misma hasta el infinito de una forma regular, elegante, aunque también algo misteriosa.

Además el pentágono era el extraño en la fiesta de los sólidos regulares (o platónicos). Estos son los poliedros que cumplen: todas sus caras son iguales, todas sus aristas son iguales (luego las caras son polígonos regulares) y todos sus vértices "son iguales" (es decir, en cada vértice confluyen el mismo nº de caras). Tan solo existen 5 poliedros regulares:  tetraedo (4 triángulos equilateros)[fuego], cubo o hexaedro (6 cuadrados)[tierra], octoedro (8 triángulos equilateros)[aire], icosaedro (20 triángulos equilateros)[agua] y el Dodecaedro (12 pentágonos regulares)[quintaesencia]. Además el dodecaedro es el único de los 5 tal que el radio de las esferas inscrita y circunscrita son mayores que la arista. En los demás, la arista es mayor que ambos radios.

Aquel invitado extraño, hecho de oro, era un mensaje divino. Sin embargo, la iglesia católica nos convenció de que era la puerta del infierno y convirtieron el pentagrama en el principal símbolo satánico... lo que también se puede leer como "el conocimiento es la puerta de todo mal, protejeos de él"

Que cada cual piense como le plazca...